Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，聯結AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，將△ABD繞A點逆時針旋轉90°，所得到的三角形為 ， 線段CF，BD所在直線的位置關系為 ， 線段CF，BD的數量關系為；

（2）②當點D在線段BC的延長線上時，如圖3，①中的結論是否仍然成立，并說明理由；

（3）如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當∠ACB滿足什么條件時，CF⊥BC（點C，F不重合），并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）△ACF；互相垂直；相等
（2）解：如圖3所示，當點D在BC的延長線上時，①中的結論仍成立．

證明：由正方形ADEF得，AD=AF，∠DAF=90°．

∵∠BAC=90°

∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC，

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC（SAS），

∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=45°，

∴∠ACF=45°，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即 CF⊥BD；

（3）如圖4所示，當∠ACB=45°時，CF⊥BD．

理由：過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G，則∠GAC=90°，

∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB=45°，

∴∠ACB=∠AGC，

∴AC=AG，

又∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，

∴△GAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠AGC=45°，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC

【解析】解：（1）①如圖2所示，將△ABD繞A點逆時針旋轉90°，所得到△ACF，則
由旋轉的性質可得：∠ACF=∠B，CF=BD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°=∠ACF，
∴∠BCF=90°，即BD⊥CF；
所以答案是：△ACF，垂直，相等；

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰直角三角形的相關知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°．