Question

【題目】探索勾股定理時，我們發現“用不同的方式表示同一圖形的面積”可以解決線段和(或差)的有關問題，這種方法稱為面積法．請你運用面積法求解下列問題：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD為腰AC上的高．

(1)若BD＝h，M是直線BC上的任意一點，M到AB、AC的距離分別為h1，h2．

A、若M在線段BC上，請你結合圖形①證明：h1+h2＝h；

B、當點M在BC的延長線上時，h1，h2，h之間的關系為　 　．(請直接寫出結論，不必證明)

(2)如圖②，在平面直角坐標系中有兩條直線l1：y＝x+6；l2：y＝﹣3x+6．若l2上的一點M到l1的距離是2，請你利用以上結論求解點M的坐標．

Answer 1

【答案】(1)A、證明見解析；B、h1﹣h2＝h；(2)點M的坐標為或．

【解析】

（1）A、如圖，連接AM，設BD=h，EM=h1，MF=h2，由于S△ABC=S△ABM+S△ACM，而EM⊥AB，MF⊥AC，BD⊥AC，因此得到ACh=ABh1+ACh2，而AB=AC，因此即可證明結論；

B、可采用和A類似的方法，畫圖作輔助線，利用三角形面積公式根據S△ABC=S△ABM-S△ACM，代入化簡得出h1-h2=h；
（2）由題意可知，DE=DF=10，所以△EDF是等腰三角形，
當點M在線段EF上時，依據（1）中結論，由h=EO=6可以得到M到DF（即x軸）的距離也為4，此時可求得M的坐標；
當點M在射線FE上時，依據（1）中結論，由h=EO=6可以得到M到DF（即x軸）的距離也為8，此時可求得M的坐標．

(1)證明：連接AM，

A、∵S△ABC＝S△ABM+S△ACM，EM⊥AB，MF⊥AC，BD⊥AC，

∴ACh＝ABh1+ACh2，

又∵AB＝AC，

∴h＝h1+h2；

B、結論：h=h1-h2．
理由：如圖，連接MA，
∵S△ABC=ACBD=ACh，
S△ABM=ABME=ABh1，
S△ACM=ACMF=ACh2，．
又∵S△ABC=S△ABM-S△ACM，
∴ACh=ABh1-ACh2．
∵AB=AC，
∴h=h1-h2；

(2)由題意可知，DE＝DF＝10，

∴△EDF是等腰三角形，

當點M在線段EF上時，依據(1)中結論，

∵h＝EO＝6，

∴M到DF(即x軸)的距離為6-2=4，

∴點M的縱坐標為4，此時可求得M，

當點M在射線FE上時，依據(1)中結論，

∵h＝EO＝6，∴M到DF(即x軸)的距離為8，

∴點M的縱坐標為8，此時可求得M，

故點M的坐標為或．

故答案為：(1)A、證明見解析；B、h1﹣h2＝h；(2)點M的坐標為或．