Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發，設出發的時間為t秒．

（1）出發2秒后，求PQ的長；

（2）當點Q在邊BC上運動時，出發幾秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形？

（3）當點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=；（3）當t為5.5秒或6秒或6.6秒時，△BCQ為等腰三角形．

【解析】

試題（1）根據點P、Q的運動速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；

（2）設出發秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形，則BP=BQ，由BQ=，BP=，列式求得即可；

（3）當點Q在邊CA上運動時，能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間有三種情況：①當CQ=BQ時（圖1），則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得；

②當CQ=BC時（如圖2），則BC+CQ=12，易求得；

③當BC=BQ時（如圖3），過B點作BE⊥AC于點E，則求出BE，CE，即可得出．

試題解析：（1）BQ=2×2=4cm，BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm，∵∠B=90°，

PQ=；

（2）BQ=，BP=，，解得：；

（3）①當CQ=BQ時（圖1），則∠C=∠CBQ，∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ，∴BQ=AQ，∴CQ=AQ=5，∴BC+CQ=11，∴=11÷2=5.5秒．

②當CQ=BC時（如圖2），則BC+CQ=12，∴=12÷2=6秒．

③當BC=BQ時（如圖3），過B點作BE⊥AC于點E，則BE=，所以CE=，故CQ=2CE=7.2，所以BC+CQ=13.2，∴=13.2÷2=6.6秒．

由上可知，當為5.5秒或6秒或6.6秒時，△BCQ為等腰三角形．