Question

【題目】已知：△ABC是等邊三角形．

（1）如圖，點D在AB邊上，點E在AC邊上，BD＝CE，BE與CD交于點F．試判斷BF與CF的數量關系，并加以證明；

（2）點D是AB邊上的一個動點，點E是AC邊上的一個動點，且BD＝CE，BE與CD交于點F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度數．

Answer 1

【答案】（1）BF=CF；理由見解析；（2）40°或20°

【解析】試題分析：（1）由等邊三角形的性質得出∠ABC=∠ACB=60°，由SAS證明△BCD≌△CBE，得出∠BCD=∠CBE，由等角對等邊即可得出BF=CF．

（2）設∠BCD=∠CBE=x，則∠DBF=60°-x，分三種情況：①若FD=FB，則∠FBD=∠FDB>∠A，證出∠FBD<60°，得出FD=FB的情況不存在；②若DB=DF，則∠FBD=∠BFD=2x，得出方程60°-x=2x，解方程即可得出結果；③若BD=BF，則∠BDF=∠BFD=2x，由三角形內角和定理得出方程，解方程即可得出結果．

試題解析：（1）BF=CF；理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

在△BCD和△CBE中， ，

∴△BCD≌△CBE（SAS），

∴∠BCD=∠CBE，

∴BF=CF．

（2）由（1）得：∠BCD=∠CBE，∠ACB=60°，

設∠BCD=∠CBE=x，

∴∠DBF=60°﹣x，

若△BFD是等腰三角形，分三種情況：

①若FD=FB，則∠FBD=∠FDB＞∠A，

∴∠FBD=∠FDB＞60°，

但∠FBD＞∠ABC，

∴∠FBD＜60°，

∴FD=FB的情況不存在；

②若DB=DF，則∠FBD=∠BFD=2x，

∴60°﹣x=2x，

解得：x=20°，

∴∠FBD=40°；

③若BD=BF，如圖所示：

則∠BDF=∠BFD=2x，

在△BDF中，∠DBF+∠BDF+∠BFD=180°，

∴60°﹣x+2x+2x=180°，

解得：x=40°，

∴∠FBD=20°；

綜上所述：∠FBD的度數是40°或20°.