Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BD⊥AC，垂足為P．

（1）請作出Rt△ABC的外接圓⊙O；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）點D在⊙O上嗎？說明理由；

（3）試說明：AC平分∠BAD．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）在，理由見解析；（3）說明見解析．

【解析】

試題（1）作AB和BC的垂直平分線，兩垂直平分線相交于點O，以OB為半徑作⊙O即可；

（2）連結OD，先判斷AC是⊙O的直徑，而∠ADB=90°，根據直角三角形斜邊上的中線性質得OD=AC，即OD=OA，于是根據點與圓的位置關系可判斷點D在⊙O上；

（3）由于AC是⊙O的直徑，BD⊥AC，根據垂徑定理得BC=CD，則，然后根據圓周角定理可得∠BAC=∠DAC．

試題解析：（1）如圖，⊙O為所作；

（2）點D在⊙O上．理由如下：

連結OD，

∵∠ABC=90°，

∴AC是⊙O的直徑，

∵∠ADB=90°，

∴OD=AC，即OD=OA，

∴點D在⊙O上；

（3）∵AC是⊙O的直徑，BD⊥AC，

∴BC=CD，

∴

∴∠BAC=∠DAC，

∴AC平分∠BAD．