Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，以AB為直徑作半圓，點P是CD中點，BP與半圓交于點Q，連結DQ．給出如下結論：

①DQ與半圓O相切；②；③∠ADQ=2∠CBP；④cos∠CDQ=．其中正確的是 （請將正確結論的序號填在橫線上）．

Answer 1

【答案】①③

【解析】

試題解析：①如圖1

連接DO，OQ，在正方形ABCD中，AB∥CD，AB═CD，

∵P是CD中點，O是AB中點，

∴DP∥OB，DP═OB，

∴四邊形OBDP是平行四邊形，

∴OD∥BP，

∴∠1=∠OBQ，∠2=∠3，

又∵OQ=OB，

∴∠3=∠OBQ，

∴∠1=∠2，

在△AOD和△QOD中，

，

∴△AOD≌△QOD，

∴∠OQD=∠A=90°，

∴DQ與半圓O相切，

①正確；

②如圖2

連接AQ，可得：∠AQB=90°，

在正方形ABCD中，AB∥CD，

∴∠ABQ=∠BPC，

設正方形邊長為x，則CP=x，

由勾股定理可求：BP=，

∴cos∠BPC=，cos∠ABQ=，

∴=，又AB=x，

可求，BQ=x，

PQ=x，

∴，

②不對；

③如圖3

連接AQ，OQ，

由①知，∠OQD=90°，又∠OAD=90°，可求∠ADQ+∠AOQ=180°，

∵∠3+∠AOQ=180°，

∴∠3=∠ADQ，

由②知，∠1+∠4=90°，

又∠4+∠CBP=90°，

∴∠CBP=∠1，

∵OA=OQ，

∴∠1=∠2，

又∵∠3=∠1+∠2，

∴∠3=2∠CBP，

∴∠ADQ=2∠CBP，

故③正確；

④如圖4，

過點Q作QH⊥CD，

易證QH∥BC，

設正方形邊長為x，由②知：PQ=x，cos∠BPC=，

可求：PH=x，HQ=x，

∴DH=DP+PH=x，

由勾股定理可求：DQ=x，

∴cos∠CDQ=，

故④不正確．

綜上所述：正確的有①③．