Question

【題目】如圖，二次函數y＝x2－4x＋3的圖象與x軸交于A，B兩點(點B在點A的右側)，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸交于點D.

(1)求點A，點B和點D的坐標；

(2)在y軸上是否存在一點P，使PBC為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；

(3)若動點M從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿AB向點B運動，同時另一個動點N從點D出發，以每秒2個單位長度的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M，N同時停止運動，問點M，N運動到何處時，MNB的面積最大，試求出最大面積．

　　　　(備用圖)

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）已知拋物線的一般式，令y=0，可得關于x的方程，解方程可得拋物線與x軸交點的橫坐標，從而得到A、B兩點坐標，通過配方可得到拋物線的對稱軸，從而可得點D的坐標；

（2）先求出BC的長，然后分情況進行討論即可得；

（3）設點M運動的時間為ts，用含t的式子先表示出BM與DN的長，然后利用三角形的面積公式表示出△MNB的面積，再根據二次函數的性質即可得.

試題解析：(1)當y＝0時，x2－4x＋3＝0.

解得x1=1，x2=3，

∵點B在點A的右側，∴點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（3，0），

∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1，

∴點D的坐標為（2，0）；

（2）存在一點P，使△PBC為等腰三角形，

當x=0加法，y=x2-4x+3=3，∴點C的坐標為（0，3），

∴BC=，

點P中y軸上，當△PBC為等腰三角形時分三種情況討論，點P位置如圖，

①當CP＝CB時，PC＝3，

∴OP＝OC＋PC＝3＋3 或OP＝PC－OC＝3－3.

∴P1(0，3＋3)，P2(0，3－3)；

②當BP＝BC時，OP＝OC＝3，

∴P3(0，－3)；

③當PB＝PC時，

∵OC＝OB＝3，

∴此時點P與點O重合．

∴P4(0，0)，

綜上所述，當點P的坐標為(0，3＋3)或(0，3－3)或(0，－3)或(0，0)時，△PBC為等腰三角形；

（3）設點M運動的時間為ts，

∵AB=2，∴BM=2-t，DN=2t，

∴S△MNB==-t2+2t=-(t-1)2+1，

∴當t=1時，△MNB的面積最大，最大面積為1，

此時M（2，0），N（2，2）或（2，-2），

∴當點M運動到（2，0），點N運動到（2，2）或（2，-2）時，△MNB的面積最大，最大面積為1.