Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，DE、DF分別垂直AB、AC于點(diǎn)E和F．

求證：DE=DF．

Answer 1

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．

【專題】證明題．

【分析】D是BC的中點(diǎn)，那么AD就是等腰三角形ABC底邊上的中線，根據(jù)等腰三角形三線合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分線，根據(jù)角平分線的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么DE=DF．

【解答】證明：

證法一：連接AD．

∵AB=AC，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)

∴AD平分∠BAC（三線合一性質(zhì)），

∵DE、DF分別垂直AB、AC于點(diǎn)E和F．

∴DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）．

證法二：在△ABC中，

∵AB=AC

∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角） …

∵點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)

∴BD=DC       …

∵DE、DF分別垂直AB、AC于點(diǎn)E和F

∴∠BED=∠CFD=90°…

在△BED和△CFD中

∵，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴DE=DF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)；利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．