Question

【題目】如圖，在直角邊分別為和的直角三角形中，每多作一條斜邊上的高就增加一個三角形的內切圓，依此類推，圖10中有個直角三角形的內切圓，它們的面積分別記為，，，，，則________．

Answer 1

【答案】π

【解析】

圖1，作輔助線構建正方形，設圓的半徑為，根據切線長定理表示出和的長，利用列方程求出半徑、是直角邊，為斜邊），運用圓面積公式求出面積；圖2，先求斜邊上的高的長，再由勾股定理求出和，利用半徑、是直角邊，為斜邊）求兩個圓的半徑，從而求出兩圓的面積和；圖3，繼續求高和、，利用半徑、是直角邊，為斜邊）求三個圓的半徑，從而求出三個圓的面積和；據此規律進行求解即可.

圖1，過點做，，垂足為、，則

四邊形為矩形

矩形為正方形

設圓的半徑為，則，，

，

圖2，由

由勾股定理得：，

由（1）得：的半徑，的半徑

圖3，由

由勾股定理得：，

由（1）得：的半徑，的半徑，的半徑

圖4中的

則

故答案為：．