Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為原點，點B在x軸的正半軸上，D（0，8），將矩形OBCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．

（1）如圖①，已知折痕與邊BC交于點A，若OD=2CP，求點A的坐標．
（2）若圖①中的點 P 恰好是CD邊的中點，求∠AOB的度數．
（3）如圖②，在（I）的條件下，擦去折痕AO，線段AP，連接BP，動點M在線段OP上（點M與P，O不重合），動點N在線段OB的延長線上，且BN=PM，連接MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E，試問當點M，N在移動過程中，線段EF的長度是否發生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度（直接寫出結果即可

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵D（0，8），

∴OD=BC=8，

∵OD=2CP，

∴CP=4，

設OB=OP=DC=x，

則DP=x﹣4，

在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，

即：82+（x﹣4）2=x2，

解得：x=10，

∵∠OPA=∠B=90°，

∴△ODP∽△PCA，

∴OD：PC=DP：CA，

∴8：4=（x﹣4）：AC，

則AC= =3，

∴AB=5，

∴點A（10，5）；

（2）

解：∵點 P 恰好是CD邊的中點，

設DP=PC=y，

則DC=OB=OP=2y，

在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，

即：82+y2=（2y）2，

解得：y= ，

∵∠OPA=∠B=90°，

∴△ODP∽△PCA，

∴OD：PC=DP：CA，

∴8：y=y：AC，

則AC= = ，

∴AB=8﹣ = ，

∵OB=2y= ，

∴tan∠AOB= = = ，

∴∠AOB=30°；

（3）

解：作MQ∥AN，交PB于點Q，如圖2，

∵AP=AB，MQ∥AN

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ，

∵BN=PM，

∴BN=QM．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴EQ= PQ．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB（AAS）．

∴QF= QB，

∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB，

由（1）中的結論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB= =4 ，

∴EF= PB=2 ，

∴在（1）的條件下，當點M、N在移動過程中，線段EF的長度不變，它的長度為2 ．

【解析】（1）設OB=OP=DC=x，則DP=x﹣4，在Rt△ODP中，根據OD2+DP2=OP2 ， 解得：x=10，然后根據△ODP∽△PCA得到AC= =3，從而得到AB=5，表示出點A（10，5）；（2）根據點P恰好是CD邊的中點設DP=PC=y，則DC=OB=OP=2y，在Rt△ODP中，根據OD2+DP2=OP2 ， 解得：y= ，然后利用△ODP∽△PCA得到AC= = ，從而利用tan∠AOB= 得到∠AOB=30°；（3）作MQ∥AN，交PB于點Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根據ME⊥PQ，得出EQ= PQ，根據∠QMF=∠BNF，證出△MFQ≌△NFB，得出QF= QB，再求出EF= PB，由（1）中的結論求出PB，最后代入EF= PB即可得出線段EF的長度不變．