Question

【題目】如圖1，拋物線C：y=x2經過變化可得到拋物線C1：y1=a1x（x﹣b1），C1與x軸的正半軸交與點A1，且其對稱軸分別交拋物線C，C1于點B1，D1，此時四邊形OB1A1D1恰為正方形；按上述類似方法，如圖2，拋物線C1：y1=a1x（x﹣b1）經過變換可得到拋物線C2：y2=a2x（x﹣b2），C2與x軸的正半軸交與點A2，且其對稱軸分別交拋物線C1，C2于點B2，D2，此時四邊形OB2A2D2也恰為正方形；按上述類似方法，如圖3，可得到拋物線C3：y3=a3x（x﹣b3）與正方形OB3A3D3．請探究以下問題：

（1）填空：a1= ，b1= ；

（2）求出C2與C3的解析式；

（3）按上述類似方法，可得到拋物線Cn：yn=anx（x﹣bn）與正方形OBnAnDn（n≥1）．

①請用含n的代數式直接表示出Cn的解析式；

②當x取任意不為0的實數時，試比較y2015與y2016的函數值的大小并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、1，2；(2)、y2=x（x﹣6）；y3=x（x﹣14）；(3)、yn=x2﹣（2n+1﹣2）x；當x＜0時，y2015＜y2016；當x＞0時，y2015＞y2016．

【解析】

試題分析：(1)、根據圖形變換后二次項系數不變得出a1=1，代入拋物線C1解析式后，求與x軸交點A1坐標，根據正方形對角線性質表示出B1的坐標，代入對應的解析式即可求出對應的b1的值；(2)、根據圖形變換后二次項系數不變得出a2=a1=1，代入拋物線C2解析式后，求與x軸交點A2坐標，根據正方形對角線性質表示出B2的坐標，代入對應的解析式即可求出對應的b2的值，寫出拋物線C2的解析式；再利用相同的方法求拋物線C3的解析式；(3)、①根據圖形變換后二次項系數不變得出an=a1=1，由B1坐標（1，1）、B2坐標（3，3）、B3坐標（7，7）得Bn坐標（2n﹣1，2n﹣1），則bn=2（2n﹣1）=2n+1﹣2（n≥1），寫出拋物線Cn解析式．

②先求拋物線C2015和拋物線C2016的交點為（0，0），在交點的兩側觀察圖形得出y2015與y2016的函數值的大小．

試題解析：(1)、由拋物線C經過變換得到拋物線C1，則a1=1， 代入C1得：y1=x（x﹣b1），

y1=0時，x（x﹣b1）=0 x1=0，x2=b1 ∴A1（b1，0）

由正方形OB1A1D1得：OA1=B1D1=b1 ∴B1（，）

∵B1在拋物線c上，則= b1（b1﹣2）=0 b1=0（不符合題意），b1=2

(2)、由a2=a1=1得，y2=x（x﹣b2）， y2=0時，x（x﹣b2）=0 x1=0，x2=b2 ∴A2（b2，0）

由正方形OB2A2D2得：OA2=B2D2=b2 ∴B2（，） ∵B2在拋物線c1上，則=（）2﹣2×，

b2（b2﹣6）=0 b2=0（不符合題意），b2=6 ∴C2的解析式：y2=x（x﹣6）=x2﹣6x，

由a3=a2=1得，y3=x（x﹣b3）， y3=0時，x（x﹣b3）=0 x1=0，x2=b3 ∴A3（b3，0）

由正方形OB3A3D3得：OA3=B3D3=b3 ∴B3（，） ∵B3在拋物線c2上，則=（）2﹣6×，

b3（b3﹣14）=0 b3=0（不符合題意），b3=14 ∴C3的解析式：y3=x（x﹣14）=x2﹣14x，

(3)、①Cn的解析式：yn=x2﹣（2n+1﹣2）x（n≥1）．

②由上題可得拋物線C2015的解析式為：y2015=x2﹣x=x2﹣x

拋物線C2016的解析式為：y2016=x2﹣x=x2﹣x

∴兩拋物線的交點為（0，0）；

∴當x＜0時，y2015＜y2016；當x＞0時，y2015＞y2016．