Question

【題目】如圖，⊙M的圓心M（﹣1，2），⊙M經過坐標原點O，與y軸交于點A，經過點A的一條直線l解析式為：y=﹣x+4與x軸交于點B，以M為頂點的拋物線經過x軸上點D（2，0）和點C（﹣4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：直線l是⊙M的切線；

（3）點P為拋物線上一動點，且PE與直線l垂直，垂足為E，PF∥y軸，交直線l于點F，是否存在這樣的點P，使△PEF的面積最小？若存在，請求出此時點P的坐標及△PEF面積的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+．（2）證明見解析；（3）P（，）．．

【解析】

試題分析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）（x+4），將點M的坐標代入可求得a的值，從而得到拋物線的解析式；

（2）連接AM，過點M作MG⊥AD，垂足為G．先求得點A和點B的坐標，可求得，可得到AG、ME、OA、OB的長，然后利用銳角三角函數的定義可證明∠MAG=∠ABD，故此可證明AM⊥AB；

（3））先證明∠FPE=∠FBD．則PF：PE：EF=：2：1．則△PEF的面積=PF2，設點P的坐標為（x，﹣x2﹣x+），則F（x，﹣x+4）．然后可得到PF與x的函數關系式，最后利用二次函數的性質求解即可．

試題解析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）（x+4），將點M的坐標代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+．

（2）連接AM，過點M作MG⊥AD，垂足為G．

把x=0代入y=﹣x+4得：y=4，

∴A（0，4）．

將y=0代入得：0=﹣x+4，解得x=8，

∴B（8，0）．

∴OA=4，OB=8．

∵M（﹣1，2），A（0，4），

∴MG=1，AG=2．

∴tan∠MAG=tan∠ABO=．

∴∠MAG=∠ABO．

∵∠OAB+∠ABO=90°，

∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°．

∴l是⊙M的切線．

（3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°，

∴∠FPE=∠FBD．

∴tan∠FPE=．

∴PF：PE：EF=：2：1．

∴△PEF的面積=PEEF=PFPF=PF2．

∴當PF最小時，△PEF的面積最小．

設點P的坐標為（x，﹣x2﹣x+，則F（x，﹣x+4）．

∴PF=（﹣x+4）﹣（﹣x2﹣x+）=﹣x+4+x2+x﹣=x2﹣x+=（x﹣）2+．

∴當x=時，PF有最小值，PF的最小值為．

∴P（，）．

∴△PEF的面積的最小值為=×（）2=．