Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長CB至點F，使CF=CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點E，N，M，連接EO．

（1）已知BD=，求正方形ABCD的邊長；

（2）猜想線段EM與CN的數量關系并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）CN=CM，理由詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據正方形的性質可得△ABD是等腰直角三角形，再由勾股定理可得2AB2=BD2，即可求得AB=1；（2）根據等腰三角形的性質可得CE⊥AF，再證得∠BAF=∠BCN，利用AAS證得△ABF≌△CBN，根據全等三角形的性質可得AF=CN，再證△ABF∽△COM，根據相似三角形的性質和正方形的性質即可證得CN=CM．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴2AB2=BD2，

∵BD=，

∴AB=1，

∴正方形ABCD的邊長為1；

（2）CN=CM．

證明：∵CF=CA，AF是∠ACF的平分線，

∴CE⊥AF，

∴∠AEN=∠CBN=90°，

∵∠ANE=∠CNB，

∴∠BAF=∠BCN，

在△ABF和△CBN中，

，

∴△ABF≌△CBN（AAS），

∴AF=CN，

∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，

∴∠BAF=∠OCM，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∴∠ABF=∠COM=90°，

∴△ABF∽△COM，

∴=，

∴==，

即CN=CM．