Question

【題目】如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB的中點，AC=6，∠MON=90°，將∠MON繞點O旋轉，OM、ON分別交邊AC于點D，交邊BC于點E（D、E不與A、B、C重合）

（1）判斷△ODE的形狀，并說明理由；

（2）在旋轉過程中，四邊形CDOE的面積是否發生變化？若不改變，直接寫出這個值，若改變，請說明理由；

（3）如圖2，DE的中點為G，CG的延長線交AB于F，請直接寫出四邊形CDFE的面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）△ODE是等腰直角三角形，理由詳見解析；（2）在旋轉過程中，四邊形CDOE的面積不發生變化，面積為9；（3）0＜S≤9．

【解析】

（1）連接OC，根據等腰三角形的性質得到OC⊥AB，OC平分∠ACB，求得∠AOD=∠COE，根據全等三角形的性質即可得到結論；

（2）根據全等三角形的性質得到四邊形CDOE的面積=△AOC的面積，根據三角形的面積公式即可得到結論；

（3）當四邊形CDFE是正方形時，其面積最大，根據正方形的面積公式即可得到結論．

（1）△ODE是等腰直角三角形，理由如下：

連接OC．在等腰Rt△ABC中，∵O是AB的中點，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，∴∠OCE=45°，OC=OA=OB，∠COA=90°．

∵∠DOE=90°，∴∠AOD=∠COE．在△AOD與△COE中，∵，∴△AOD≌△COE，（ASA），∴OD=OE，∴△ODE是等腰直角三角形；

（2）在旋轉過程中，四邊形CDOE的面積不發生變化．

∵△AOD≌△COE，∴四邊形CDOE的面積=△AOC的面積．

∵AC=6，∴AB=6，∴AO=OCAB=3，∴四邊形CDOE的面積=△AOC的面積9；

（3）當四邊形CDFE是正方形時，其面積最大，四邊形CDFE面積的最大值=9，故四邊形CDFE的面積S的取值范圍為：0＜S≤9．