Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，⊙O交x軸于A、B兩點，直線FA⊥x軸于點A，點D在FA上，且DO平行于⊙O的弦MB，連DM并延長交x軸于點C．
（1）判斷直線DC與⊙O的位置關系，并給出證明；
（2）設點D的坐標為（-2，4），①求MC的長；②若動點P從點A出發向點D勻速運動，速度是每秒1個單位長；同時點Q從點D出發向點C勻速運動，速度是每秒2個單位長；其中一個點到達終點時運動即結束．連接PQ交OD于點H，當△PDH為直角三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

證明：（1）如圖，連OM．
∵DO∥MB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠4．
在△DAO與△DMO中，

AO=OM ∠2=∠4 DO=DO

，
∴△DAO≌△DMO．
∴∠OMD=∠OAD．
∵FA⊥x軸于點A，
∴∠OAD=90°．
∴∠OMD=90°．
即OM⊥DC．
∴DC切⊙O于M．（4分）

（2）
①∵D（-2，4），
∴OA=2（即⊙O的半徑），AD=4．
由（1）知DM=AD=4，
∵△OMC∽△DAC，
∴

MC

AC

=

OM

AD

=

2

4

=

1

2

．
∴AC=2MC．
在Rt△ACD中，CD=MC+4，
∵（2MC）²+4²=（MC+4）²
∴MC=

8

3

或MC=0（不合，舍去），
∴MC的長為

8

3

．（8分）

②由①知CD=

20

3

．
當∠PHD=90°時，由切線長性質定理知DO平分∠PDQ，
∴PD=QD．
∴4-t=2t，t=

4

3

（符合題意）．
∴P（-2，

4

3

）．（10分）
當∠DPH=90°時，PQ∥AC，
∴△DPQ∽△DAC．
∴

DP

DA

=

DQ

DC

．
即

4-t

4

=

2t

20 3

，t=

20

11

（符合題意）．
∴P（-2，

20

11

）．（12分）