Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一個動點（F不與A，B重合），過點F的反比例函數y= （k＞0）的圖象與BC邊交于點E．

（1）當F為AB的中點時，求該函數的解析式；
（2）當k為何值時，△EFA的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2，

∴B（3，2），

∵F為AB的中點，

∴F（3，1），

∵點F在反比例函數y= （k＞0）的圖象上，

∴k=3，

∴該函數的解析式為y= （x＞0）

（2）

解：由題意知E，F兩點坐標分別為E（ ，2），F（3， ），

∴S△EFA= AFBE= × k（3﹣ k），

= k﹣ k2

=﹣ （k2﹣6k+9﹣9）

=﹣ （k﹣3）2+

當k=3時，S有最大值．

S最大值=

【解析】（1）當F為AB的中點時，點F的坐標為（3，1），由此代入求得函數解析式即可；（2）根據圖中的點的坐標表示出三角形的面積，得到關于k的二次函數，利用二次函數求出最值即可．此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，待定系數法確定反比例解析式，以及二次函數的性質，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的最值(如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a)．