Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點E為AB的中點，連結DE．

（1）證明DE∥CB；
（2）探索AC與AB滿足怎樣的數量關系時，四邊形DCBE是平行四邊形．

Answer 1

（1）首先連接CE，根據直角三角形的性質可得CE=AB=AE，再根據等邊三角形的性質可得AD=CD，然后證明△ADE≌△CDE，進而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可證明DE∥CB。
（2）當或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形。

分析：（1）首先連接CE，根據直角三角形的性質可得CE=AB=AE，再根據等邊三角形的性質可得AD=CD，然后證明△ADE≌△CDE，進而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可證明DE∥CB。
（2）當或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形。若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180°進而得到∠B=30°，再根據三角函數可推出或AB=2AC。
解：（1）證明：連結CE，

∵點E為Rt△ACB的斜邊AB的中點，
∴CE=AB=AE。
∵△ACD是等邊三角形，∴AD=CD。
在△ADE與△CDE中，，
∴△ADE≌△CDE（SSS）。∴∠ADE=∠CDE=30°。
∵∠DCB=150°，∴∠EDC+∠DCB=180°。
∴DE∥CB。
（2）∵∠DCB=150°，若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180°。
∴∠B=30°．
在Rt△ACB中，sinB=，即sin30°=，∴或AB=2AC。
∴當或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形。