Question

【題目】如圖，為的直徑，和過點的切線互相垂直，垂足為，直線、交于點，交于點．

（1）求證：平分；

（2）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）先通過切線的性質和垂直得出，然后有，再根據等腰三角形的性質有，通過等量代換即可得出，則結論可證；

（2）方法一：先利用圓周角定理和圓內接四邊形的性質得出，然后利用得出，則DF可求，進而AD可求，利用勾股定理可求出AC的長度，然后利用得出，進而求出AB的長度，最后利用平行線分線段成比例求解即可；

方法二：先利用圓周角定理和圓內接四邊形的性質得出，然后利用得出，則DF可求，進而AD可求，利用勾股定理可求出AC的長度，然后利用得出，進而求出AB的長度以及然后利用得，最后利用求解即可．

（1）證明：如圖，連接，

和過點的切線互相垂直，垂足為，

，

是過點的切線，

．

．

．

．

．

．

．

．

即平分．

（2）方法一：

如圖，連接，，．

是的直徑，

，．

．

∵，

由（1）知．

．

四邊形是圓內接四邊形，

，

，

．

由（1）知，

．

．

．即．

解得或（舍）．

．

在中，．

在和中，，，

．

，即．

．

，，

．

，

，即．

．

方法二：如圖，連接，．

是的直徑，

，．

．

∵，

由（1）知．

．

四邊形是圓內接四邊形，

，

，

．

由（1）知，

．

．

．即．

解得或（舍）．

．

在中，．

在和中，，，

．

，

即．

．

∵，

，

．

，，，

．

，

，

，

，．

，即，

，

．