Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）試求出拋物線的解析式；
（2）問：在拋物線的對稱軸上是否存在一個點Q，使得△QAC的周長最小，試求出△QAC的周長的最小值，并求出點Q的坐標；
（3）現有一個動點P從拋物線的頂點T出發，在對稱軸上以1個單位長度每秒的速度向y軸的正方向運動，試問，經過幾秒后，△PAC是等腰三角形？

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴把此三點代入得

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=-4 c=3

，
故拋物線的解析式為，y=x²-4x+3；

（2）點A關于對稱軸的對稱點即為點B，
連接B、C，交x=2于點Q，
可得直線BC：
y=-x+3，與對稱軸交點Q（2，1），BC=3

2

，
可得△QAC周長為

10

+3

2

．

（3）設t秒后△PAC是等腰三角形，
因為P在對稱軸上，
所以P點坐標為（2，t-1）于是
①當PA=CA時；根據勾股定理得：（2-1）²+（t-1）²=1²+3²；
解得t=4秒或t=-2秒（負值舍去）．
②PC=PA時；根據勾股定理得：2²+（t-4）²=（2-1）²+（t-1）²；
解得t=3秒；
③CP=CA時；根據勾股定理得：2²+（t-4）²=1²+3²；
解得t=（4+

6

）秒或t=（4-

6

）秒
所以經過4秒，或3秒，或4+

6

秒，或4-

6

秒時，△PAC是等腰三角形．