Question

如圖，BD是⊙O的直徑，AB與⊙O相切于點B，過點D作OA的平行線交⊙O于點C,AC與BD的延長線相交于點E．
①試探究AE與⊙O的位置關系，并說明理由；
②已知EC=a，ED=b，AB=c，請你思考后，選用以上適當的數據，設計出計算⊙O的半徑r的一種方案；
1) 你選用的已知數是_________；
2) 寫出求解過程(結果用字母表示)．

Answer 1

解；①AE與⊙O相切. …………………1分
理由：連接OC. ∵CD∥OA
∴∠AOC=∠OCD，∠ODC=∠AOB. 又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD.
∴∠AOB=∠AOC. …………………3分
在△AOC和△AOB中，OA=OA，∠AOB=∠AOC，OB=OC.
∴△AOC≌△AOB，…………………5分
∴∠ACO=∠ABO
∵AB與⊙O相切，∴∠ACO=∠ABO=90°
∴AE與⊙O相切. …………………6分
②選擇a、b、c，或其中2個.
解：若選擇a、b、c，
方法一：由CD∥OA，=，得r=
方法二：在Rt△ABE中，由勾股定理(b+2r)²+c²=(a+c)²，得r=
方法三：由Rt△OCE∽Rt△ABE，=，得r=…………………8分
若選擇a、b.
方法一：在Rt△OCE中，由勾股定理：a²+r²=(b+r)²，得r=
方法二：連接BC，由△DCE∽△CBE，得r=
若選擇a、c；需綜合運用以上多種方法，得r=…………………8分

略