Question

【題目】已知直線AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于A、C，CM是∠ACD的平分線，CM交AB于H，過A作AG⊥AC交CM于G．

（1）如圖1，點G在CH的延長線上時，

①若∠GAB=36°，則∠MCD=______．

②猜想：∠GAB與∠MCD之間的數量關系是______．

（2）如圖2，點G在CH上時，（1）②猜想的∠GAB與∠MCD之間的數量關系還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請寫出∠GAB與∠MCD之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①63°；②2∠MCD-∠GAB=90°；（2）2∠MCD+∠GAB=90°，理由見解析．

【解析】

（1）①依據AG⊥AC，∠GAB=36°，可得∠CAH的度數，依據角平分線的定義以及平行線的性質，即可得到∠MCD的度數；
②設∠ACH=∠AHC=∠MCD=α，∠GAB=β，則∠AGC=∠AHC-∠GAB=α-β，依據Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC=90°，即可得出∠GAB與∠MCD之間的數量關系；
（2）設∠ACH=∠AHC=∠MCD=α，∠GAB=β，則∠AGC=∠AHC+∠GAB=α+β，依據Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC=90°，即可得出∠GAB與∠MCD之間的數量關系．

解：（1）①∵AG⊥AC，∠GAB=36°，

∴∠CAH=90°-36°=54°，

∵AB∥CD，

∴∠ACD=180°-∠CAH=126°

∵CM是∠ACD的平分線，

∴∠MCD=∠ACD=63°，

故答案為：63°；

②∠GAB與∠MCD之間的數量關系是2∠MCD-∠GAB=90°；

理由：∵CM是∠ACD的平分線，

∴∠ACH=∠DCM，

∵AB∥CD，

∴∠AHC=∠DCM，

∴∠ACH=∠AHC，

設∠ACH=∠AHC=∠MCD=α，∠GAB=β，

則∠AGC=∠AHC-∠GAB=α-β，

∵GA⊥AC，

∴Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC=90°，即α+α-β=90°，

∴2α-β=90°，即2∠MCD-∠GAB=90°；

故答案為：2∠MCD-∠GAB=90°；

（2）上述∠GAB與∠MCD之間的數量關系不成立，應該為2∠MCD+∠GAB=90°，

理由：∵CM是∠ACD的平分線，

∴∠ACH=∠DCH，

∵AB∥CD，

∴∠AHC=∠DCH，

∴∠ACH=∠AHC，

設∠ACH=∠AHC=∠MCD=α，∠GAB=β，

則∠AGC=∠AHC+∠GAB=α+β，

∵GA⊥AC，

∴Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC=90°，即α+α+β=90°，

∴2α+β=90°，即2∠MCD+∠GAB=90°