Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+1過A（1，0）、B，（5，0）兩點．

（1）求：拋物線的函數表達式；
（2）求：拋物線與y軸的交點C的坐標及其對稱軸
（3）若拋物線對稱軸上有一點P，使△COA∽△APB，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+1過A（1，0）、B，（5，0）兩點，

∴ ，解得 ，

∴拋物線的函數表達式為y= x2﹣ x+1

（2）

解：在y= x2﹣ x+1中，令x=0可得y=1，

∴C點坐標為（0，1），

又y= x2﹣ x+1= （x﹣3）2﹣ ，

∴拋物線對稱軸為直線x=3

（3）

解：∵A（1，0），C（0，1），

∴OA=OC=1，

∴△COA為等腰直角三角形，且∠COA=90°，

∵△COA∽△APB，

∴△APB為等腰直角三角形，∠APB=90°，

∵P在拋物線對稱軸上，

∴P到AB的距離= AB= ×（5﹣1）=2，

∴P點坐標為（3，2）或（3，﹣2）

【解析】（1）把A、B兩點坐標代入，可求得a、b的值，可求得拋物線的函數表達式；（2）根據（1）中所求拋物線的解析式可求得C點的坐標，及對稱軸；（3）由A、C點的坐標可判定△COA為等腰直角三角形，若△COA∽△APB，可知△APB為等腰直角三角形，利用直角三角形的性質可求得P到x軸的距離，可求得P點坐標．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的性質和相似三角形的性質，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形即可以解答此題．