Question

【題目】如圖，二次函數與x軸交于點B和點A（-1,0），與y軸交于點C，與一次函數交于點A和點D.

1.求出的值；

2.若直線AD上方的拋物線存在點E，可使得△EAD面積最大，求點E的坐標；

3.點F為線段AD上的一個動點，點F到（2）中的點E的距離與到y軸的距離之和記為d，求d的最小值及此時點F的坐標.

Answer 1

【答案】（1）a=1；b=3；c=4. （2）當m=1時，最大值為6，此時點E的坐標為（1,6）（3）d的最小值為5,F點的坐標為（1，2）.

【解析】

（1）根據圖形可以看出點C的坐標為（0，4），點B的坐標為（4，0），代入二次函數的解析式中，即可得出b、c的值,將點A（－1，0）代入一次函數中，即可求得a的值；
（2）設點E的橫坐標為m，則可得出點E的縱坐標為-m2+3m+4．過點E作x軸的垂線l，交x軸于點G，交AD于點H，則點H的坐標為（m，m+1）．過點D作l的垂線，垂足為T；聯立直線方程和二次函數方程，即可得出D的坐標，再根據S△AED=S△AEH+S△HED，得出含m的函數，利用a的取值范圍，可知，當m=1時，即可得出最大值，從而可得出E的坐標；
（3）過A作y軸的平行線AS，過F作FG⊥y軸交AS于點M，過F作FN⊥x軸于N，結合已知，可得出FM=FN，即有d=FE+FM-1=FE+FN-1，可知當N、F、E所在直線與x軸垂直時，d=FE+FN-1最小，即可得出F的坐標．

（1）∵點C（0，4），B（4，0）在函數的圖象上，

∴

解得：b=3,c=4,

∵點A（－1，0）在一次一次函數y=x+a上，

∴0＝-1+a,

∴a=1.

所以a=1,b=3,c=4.

（2）設點E的橫坐標為m，則點E的縱坐標為.過點E作x軸的垂線l，交x軸于點G，交AD于點H，則點H的坐標為.過點D作l的垂線，垂足為T.

將與聯立組成方程組，解得點D的坐標為（3,4）.

所以

∵a=＜0，

∴有最大值.當m=1時，最大值為6，此時點E的坐標為（1,6）

（3）過A作y軸的平行線AS，過F作FG⊥y軸交AS于點M，過F作FN⊥x軸于N,如圖所示：

∵點D的坐標為（3,4），點A坐標為（-1,0）

∴∠DAB=45°

∴AD平分∠SAB，

∴FM="FN"

∴d =FE+FM-1=FE+FN-1

顯然，當N、F、E所在直線與x軸垂直時，d=FE+FN-1最小，最小值為6-1=5.

此時點F的橫坐標為1，代入得F點的坐標為（1，2）.