Question

【題目】如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝2．將紙片折疊，使點B落在AD邊上的點B′處（不與A，D重合），點C落在C′處，線段B′C′與直線CD交于點G，折痕為EF，則下列說法：①若∠A＝90，B′為AD中點時，AE＝；②若∠A＝60°，B′為AD中點時，點E恰好是AB的中點；③若∠A＝60°，C′F⊥CD時，，其中正確的是（　　）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

Answer 1

【答案】D

【解析】

①證出四邊形ABCD是正方形，得出AB＝AD，設AE＝x，則B'E＝BE＝2x，在Rt△AB'E中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

②連接BD、BE'，證出△ABD是等邊三角形，由等邊三角形的性質得出∠AB'B＝90°，∠ABB'＝30°，證出△AB'E是等邊三角形，得出AE＝B'E＝BE即可；

③設CF＝x，由折疊的性質得：C'F＝CF＝x，∠C'＝∠C＝∠A＝60°，得出∠C'GF＝30°，得出C'G＝2C'F＝2x，GF＝C'F＝x，則DG＝CDGFCF＝2xx，證出DB'＝DG，作DH⊥B'C'于H，則B'H＝GH＝12B'G＝12（22x）＝1x，得出DG＝，得出方程＝2﹣x﹣x，解得x＝4﹣2，得出CF＝4﹣2，FD＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2，即可得出結果．

①∵∠A＝90°，四邊形ABCD是菱形，

∴四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，

∵B′為AD中點時，

∴AB'＝1，

設AE＝x，則B'E＝BE＝2﹣x，

在Rt△AB'E中，由勾股定理得：12+x2＝（2﹣x）2，

解得：x＝，①正確；

②連接BD、BE'，如圖：

∵∠A＝60°，AB＝AD，

∴△ABD是等邊三角形，

∴∠ABD＝60°，

∵B′為AD中點，

∴∠AB'B＝90°，∠ABB'＝30°∵BE＝B'E，

∴∠BB'E＝∠ABB'＝30°，

∴∠AB'E＝60°，

∴△AB'E是等邊三角形，

∴AE＝B'E＝BE，

∴點E是AB的中點，②正確；

③設CF＝x，

由折疊的性質得：C'F＝CF＝x，∠C'＝∠C＝∠A＝60°，

∵C′F⊥CD，

∴∠C'GF＝30°，

∴C'G＝2C'F＝2x，GF＝C'F＝x，

∴DG＝CD﹣GF﹣CF＝2﹣x﹣x，

∵∠D＝180°﹣∠A＝120°，∠DGB'＝∠C'GF＝30°，

∴∠DB'G＝30°，

∴DB'＝DG，

設BD交B'C'于H，則B'H＝GH＝B'G＝（2﹣2x）＝1﹣x，

∴DG＝，∴＝2﹣x﹣x，

解得：x＝4﹣2，

∴CF＝4﹣2，FD＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2，

∴，③正確；

故選：D．