Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，為原點，點坐標為，點坐標為，以為直徑的圓與軸的負半軸交于點．

（1）求圖象經過，，三點的拋物線的解析式；

（2）設點為所求拋物線的頂點，試判斷直線與的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）直線與相切，理由見解析

【解析】

（1）已知A、B兩點的坐標，要求拋物線的解析式，即要求點C的坐標，由相似三角形的判定與性質求出OC的長度，即可求出點C的坐標；（2）根據拋物線解析式求出點M的坐標，分別求出MP、CP、CM的長度，利用勾股定理逆定理判定△CPM為直角三角形，從而得出PC⊥MC，所以直線MC與⊙P相切.

解：（1）連接AC、BC；

∵AB是⊙P的直徑，

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，

∵∠BCO+∠CBO=90°，

∴∠CBO=∠ACO，

∵∠AOC=∠BOC=90°，

∴△AOC∽△COB，

∴=，

∴OC2=OA·OB=16，

∴OC=4，

故C(0，﹣4)，

設拋物線的解析式為：y=a(x+8)(x﹣2)，

代入C點坐標得：a(0+8)(0﹣2)=﹣4，a=，

故拋物線的解析式為：y=(x+8)(x﹣2)=+x﹣4；

(2)由(1)知：y=+x﹣4=﹣；

則M(﹣3，﹣)，

又∵C(0，﹣4)，P(﹣3，0)，

∴MP=，PC=5，MC=，

∴MP2=MC2+PC2，即△MPC是直角三角形，且∠PCM=90°，

故直線MC與⊙P相切．