Question

（2010•濱湖區一模）如圖，拋物線y=x²+mx+n交x軸于A、B兩點，直線y=kx+b經過點A，與這條拋物線的對稱軸交于點M（1，2），且點M與拋物線的頂點N關于x軸對稱．
（1）求這條拋物線的函數關系式；
（2）設題中的拋物線與直線的另一交點為C，已知P為線段AC上一點（不含端點），過點P作PQ⊥x軸，交拋物線于點Q，試證明：當P為AC的中點時，線段PQ的長取得最大值，并求出PQ的最大值；
（3）設D、E為直線AC上的兩點（不與A、C重合），且D在E的左側，DE=2，過點D作DF⊥x軸交拋物線于點F，過點E作EG⊥x軸交拋物線于點G．問：是否存在這樣的點D，使得以D、E、F、G為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出所有符合條件的點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于點M和拋物線頂點關于x軸對稱，即可得到點N的坐標，進而表示出該拋物線的頂點坐標式函數解析式．
（2）根據（1）所得拋物線的解析式，可得到點A的坐標，進而可求出直線AC的解析式，設出點P的橫坐標，根據直線AC和拋物線的解析式，即可得到P、Q的縱坐標，從而得到關于PQ的長和P點橫坐標的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出PQ的最大值及對應的P點坐標，然后判斷此時的P點是否為AC的中點即可．
（3）由直線AC的斜率可得∠CAB=45°，因此D、E的橫坐標差為2，可設出點D的橫坐標，即可得到點E的橫坐標，進而可參照（2）的方法求得DF、EG的長，若以D、E、F、G為頂點的四邊形為平行四邊形，那么必須滿足DE=FG，由此可求得點D的坐標．需要注意的是：在表示DE、FG的長時，要分三種情況考慮：
①點D在線段CA的延長線上，E在線段AC上，②D、E都在線段AC上，③點E在線段AC的延長線上，D在線段AC上．
解答：解：（1）由題意知，拋物線頂點N的坐標為（1，-2），（1分）
∴其函數關系式為y=（x-1）²-2=x²-x-．（3分）

（2）由x²-x-=0
得x=-1或3，即A（-1，0）、B（3，0）；
由A（-1，0）、M（1，2）可得直線AC的函數關系式為y=x+1，（4分）
設P（t，t+1），則Q的坐標為（t，t²-t-）；（5分）
∴PQ=（t+1）-（t²-t-）=-t²+2t+=-（t-2）²+，（6分）
∵a=-＜0
∴當t=2時，PQ有最大值為，
即P點運動至AC的中點時，PQ長有最大值為．（7分）

（3）由直線AC的函數關系式為y=x+1可知：∠CAB=45°，則D、E的橫坐標差為2；
設點D（x，x+1），E（x+2，x+3），則：F（x，x²-x-），G（x+2，x²+x-）；
由于DF∥EG，若以D、E、F、G為頂點的四邊形為平行四邊形，則DF=EG；
①當點D在線段CA的延長線上，點E在線段AC上時；
DF=x²-x--（x+1）=x²-2x-，EG=x+3-（x²+x-）=-x²+；
由于DF=EG，則x²-2x-=-x²+，
解得x=1±2；
由于x＜0，則D（1-2，2-2）；
②當點D、E都在線段AC上時；
DF=-x²+2x+，EG=-x²+；
同①可得：-x²+2x+=-x²+，
解得x=1；
故D（1，2）；
③當點D在線段AC上，E點在線段AC的延長線上時，
DF=x²-x--（x+1）=x²-2x-，EG=x+3-（x²+x-）=-x²+；
由于DF=EG，則x²-2x-=-x²+，
解得x=1±2；
由于x＞0，則D（1+2，2+2）；
符合條件的點共有3個，分別為D₁（1，2），D₂（1-2，2-2），D₃（1+2，2+2）．（11分）
（第（3）小題得出1解得（2分），2解得（3分），3解得4分）
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的求法、二次函數最值的應用、平行四邊形的判定和性質等知識，同時考慮了分類討論的數學思想，難度較大．