Question

下列說法
①如圖，扇形的圓心角，點是上異于的動點，過點作于，作于,連接，點在線段上，且，連接。當點在上運動時，在中，長度不變的是；
   
②如圖，正方形紙片的邊長為，⊙的半徑為，圓心在正方形的中心上，將紙片按圖示方式折疊，折疊后點于點重合，且切⊙于點，延長交邊于點,則的長為；
③已知中，，則其內心和外心之間的距離是。其中正確的有     （請寫序號，少選，錯選均不得分）

Answer 1

①②

①解：連接OC，如圖1，

∵扇形OAB的圓心角∠AOB=90°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠AOE=∠CEO=∠CDO=90°，
∴四邊形EODC是矩形，
∴OC=DE，
∵DG=DE，
∴DG=OC=DE，
∴當點C在上運動時，在CD、CG、DG中，長度不變的是DG，故該選項正確；
②解：連AC，過F作FM⊥DC于M，如圖2．

∵△AEF沿EF折疊得到△HEF，
∴∠EHF=∠EAF=90°，FH=FA，
∵EH恰好與⊙0相切于點H，
∴OH⊥EH，
∴點F、H、O共線，即FG過圓心O，
又∵點O為正方形的中心，
∴AC經過點O，
∴OA=OC，
在△OAF和△OCG中，
，
∴△OAF≌△OCG，
∴OF=OG，AF=CG，
∵OA′=ON，
∴FA′=GN，
設FA=x，DC=8，ON=2，則FH=DM=CG=GN=x，FG=FM+HN+NG=2x+4，MG=DC-DM-CG=8-2x，
在Rt△FGH中，FG²=FM²+MG²，
∴（2x+4）²=8²+（8-2x）²，解得x=，
HG=HN+NG=4+=，故該選項正確；
③解：如圖3，在Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，

∴AB=5cm，
∴AM為外接圓半徑，
∴AM=1/2AB=2.5cm
設Rt△ABC的內切圓的半徑為r，則OD=OE=r，∠C=90°，
∵四邊形OECD是正方形，
∴CE=CD=r，AE=AN=3-r，BD=BN=4-r，
即4-r+3-r=5，
解得r=1cm，
∴AN=2cm；
在Rt△OMN中，
MN=AM-AN=-2=cm，∴OM=
∴內心和外心之間的距離是cm，故該選項錯誤；
故答案為：①②．