Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）、B（4，0），與y軸交于點C．

（1）a=；b=；
（2）點P為該函數在第一象限內的圖象上的一點，過點P作PQ⊥BC于點Q，連接PC．
①求線段PQ的最大值；
②若以P、C、Q為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）﹣ ,
（2）①由（1）知，a=﹣ ，b= ，

∴二次函數的解析式為y=﹣ x2+ x+2，

如圖，過點P作PG垂直于x軸于點G，與線段BC交于點M，

直線BC的表達式為y=﹣ x+2，則點M的坐標為（t，﹣ t+2），

則PM=yP﹣yM=（﹣ t2+ t+2）﹣（﹣ t+2）=﹣ t2+2t

∵∠PQM=∠PGB，∠PMQ=GMB，

∴∠QPM=∠CBO

又∵∠PQM=∠COB，

∴△PQM∽△BOC，

∴

∴PQ= PM= （﹣ t2+2t）=﹣ t（t﹣4）

由拋物線的對稱性可知，當t=2時，PQ的最大值是 =

②由①知，二次函數的解析式為y=﹣ x2+ x+2，

∴C（0，2），

∴OC=2，

∵B（4，0），

∴OB=4，

設P（t，﹣ t2+ t+2），

∴M（t，﹣ t+2）

在Rt△OBC中，tan∠OBC= = ，

在Rt△BGM中，BG=4﹣t，

∴MG= （4﹣t），根據勾股定理得，

BM= （4﹣t），

∵∠PQM=∠PGB，∠PMQ=GMB，

∴△PQM∽△BGM，

∴ ，= ，

∴QM= PQ= [﹣ t（t﹣4）]=﹣ ，

∵B（4，0），C（0，2），

∴BC=2 ，

∴CQ=BC﹣QM﹣BM=2 + ﹣ （4﹣t）= = t（t+1）

∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），

∴AB2=25，BC2=20，AC2=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ACB=90°=∠PQC

∵以P、C、Q為頂點的三角形與△ABC相似，

∴①△PCQ∽△ABC，

∴ ，

∴ ，

∴t=3，

∴P（3，2）

②△CPQ∽△ABC，

∴ ，

∴ ，

∴t= ，

∴P（ ， ）

即：P的坐標為（3，2）或（ ， ）．

【解析】解：（1）∵二次函數y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）、B（4，0），

∴ ，

∴ ，

故答案為：﹣ ， ；

（1）利用待定系數法即可得出結論；
（2）先確定出PM，再判斷出△PQM∽△BOC，得出PQ的長，即可得出結論；
（3）利用相似三角形的性質得出CQ，再分兩種情況用相似三角形得出的比例式建立方程求解即可得出結論．