Question

10．如圖1，直線MN分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點M、N，且OM=6，∠OMN=45°，點P從點O出發，以每秒鐘1個單位的速度沿折線ONM運動，設點P運動時間為t （s），△POM的面積S．
（1）當S=$\frac{1}{2}$△OMN時，請直接寫出點P的坐標；
（2）當t=6+5$\sqrt{2}$時，直線x=$\frac{3}{4}$上有一個動點C和y軸上有一動點D，當PD+DC+OC值最小時，求C、D兩點的坐標及此時PD+DC+OC最小值；
（3）如圖3，有一個和△NOM全等的△AOB，現將△AOB繞點O順時針旋轉a°（0＜a＜180）形成△A′OB′，直線OB′與直線MN交于點F，直線A′B′交直線MN于點E，在旋轉過程中△EFB′為等腰三角形時，請直接寫出a的度數與B′點的橫坐標的平方．

Answer 1

分析 （1）當S=△OMN面積的一半時，分兩種情況進行討論：①點P在ON上；點P在MN上，分別求得點P的坐標；
（2）先根據當t=6+5$\sqrt{2}$時，ON+NP=6+5$\sqrt{2}$，NP=5$\sqrt{2}$，PM=$\sqrt{2}$，求得點P的坐標為（5，1），再作點P關于y軸對稱的點P'，作點O關于直線x=$\frac{3}{4}$的對稱點O'，則P'（-5，1），O'（$\frac{3}{2}$，0），連接O'P'，交y軸于點D，交直線x=$\frac{3}{4}$于點C，則此時PD+DC+OC值最小，等于線段O'P'的長，運用待定系數法求得直線O'P'的解析式為y=-$\frac{2}{13}$x+$\frac{3}{13}$，進而得到C、D兩點的坐標及此時PD+DC+OC最小值；
（3）根據旋轉過程中△EFB′為等腰三角形，需要分三種情況討論：當EB'=EF時，當B'E=B'F時，當FE=FB'時，分別求得a的度數與B′點的橫坐標的平方．

解答 解：（1）分兩種情況討論：
①如圖1，當點P在ON上時，根據S=△OMN面積的一半，可得點P為NO的中點，

∵OM=6，∠OMN=45°，
∴△MON是等腰直角三角形，
∴ON=6，
∴OP=3，
∴P（0，3）；
②如圖1，當點P在MN上時，根據S=△OMN面積的一半，可得點P為NM的中點，
∵△MON是等腰直角三角形，OM=ON=6，
∴P（3，3）；
綜上所述，點P的坐標為（0，3）或（3，3）；

（2）∵ON=6，
∴當t=6+5$\sqrt{2}$時，ON+NP=6+5$\sqrt{2}$，NP=5$\sqrt{2}$，PM=$\sqrt{2}$，
∴點P的坐標為（5，1），
如下圖，作點P關于y軸對稱的點P'，作點O關于直線x=$\frac{3}{4}$的對稱點O'，則P'（-5，1），O'（$\frac{3}{2}$，0），
連接O'P'，交y軸于點D，交直線x=$\frac{3}{4}$于點C，則此時PD+DC+OC值最小，等于線段O'P'的長，

設直線O'P'的解析式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{1=-5k+b}\\{0=\frac{3}{2}k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{13}}\\{b=\frac{3}{13}}\end{array}\right.$，
∴直線O'P'的解析式為y=-$\frac{2}{13}$x+$\frac{3}{13}$，
∴當x=$\frac{3}{4}$時，y=$\frac{3}{26}$，即C（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{26}$）；
當x=0時，y=$\frac{3}{13}$，即D（0，$\frac{3}{13}$）；
此時PD+DC+OC=O'P'=$\sqrt{（\frac{3}{2}+5）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{173}}{2}$，
∴PD+DC+OC最小值為$\frac{\sqrt{173}}{2}$；

（3）①當EB'=EF時，∠B'=∠B'FE=∠MFO=45°，
∵∠FMO=45°，
∴此時∠MOF=90°，即點F與點N重合，即OF=ON，
故△EFB′不存在，不合題意；
②當B'E=B'F時，如圖，過點B'作B'H⊥OM于H，過點F作FG⊥OM于G，則FG∥B'H，

∵∠EB'F=45°，
∴∠B'FE=∠MFO=67.5°=∠MFO，
又∵∠OMF=45°，
∴∠MOF=67.5°，
∴a的度數=∠BOB'=112.5°，
此時MF=MO=6，
∴Rt△MFG中，FG=MG=3$\sqrt{2}$，
∴OG=6-3$\sqrt{2}$，
由FG∥B'H，可得$\frac{OG}{OM}$=$\frac{FG}{B'H}$，即$\frac{6-3\sqrt{2}}{OH}$=$\frac{3\sqrt{2}}{B'H}$，
∴B'H=$\frac{3\sqrt{2}}{6-3\sqrt{2}}$OH=（$\sqrt{2}$+1）OH，
∵Rt△OHB'中，OH²+B'H²=B'O²，
∴OH²+（$\sqrt{2}$+1）²OH²=6²，
解得OH²=18-9$\sqrt{2}$，即B′點的橫坐標的平方為18-9$\sqrt{2}$；
③當FE=FB'時，如圖，過點B'作B'H⊥OM于H，

∵∠EB'F=∠FEB'=45°，
∴∠EFB'=90°=∠MFO，
又∵∠OMF=45°，
∴∠MOF=45°，
∴a的度數=∠BOB'=135°，
此時，Rt△OHB'中，OH²=$\frac{1}{2}$B'O²=$\frac{1}{2}$×36=18，即B′點的橫坐標的平方為18．

點評 本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，平行線分線段成比例定理，待定系數法求函數解析式，等腰三角形的性質以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造直角三角形和平行線，運用分類討論思想進行求解．解題時注意：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．