Question

【題目】如圖，直線l：y=kx+b（k＜0）與函數（x＞0）的圖象相交于A、C兩點，與x軸相交于T點，過A、C兩點作x軸的垂線，垂足分別為B、D，過A、C兩點作y軸的垂線，垂足分別為E、F；直線AE與CD相交于點P，連接DE，設A、C兩點的坐標分別為（a，）、（c，），其中a＞c＞0．

（1）如圖①，求證：∠EDP=∠ACP；

（2）如圖②，若A、D、E、C四點在同一圓上，求k的值；

（3）如圖③，已知c=1，且點P在直線BF上，試問：在線段AT上是否存在點M，使得OM⊥AM？請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）-1；（3）（，）．

【解析】

試題分析：（1）由P、E、D的坐標可表示出PA、EP、PC和DP的長，可證明△EPD∽△CPA，利用相似三角形的性質可證得結論；

（2）連接AD、EC，可證明△AEC≌△CDA，可得CD=AE，把A、C坐標代入直線l解析式，可求得k的值；

（3）假設在線段AT上存在點M，使得OM⊥AM，連接OM、OA，可表示出C、F、P、B的坐標，利用直線BF的解析式可求得a的值，可求得A點坐標，可求得T點坐標，在△OAT中，利用等積法可求得OM的長，在RtOMT中可求得MT的長，作MN⊥x軸，同理可求得MN的長，則可求得ON的長，可判斷N在線段BT上，滿足條件，從而可知存在滿足條件的M點．

試題解析：（1）證明：

由題意可知P（c，），E（0，），D（c，0），∴PA=a﹣c，EP=c，PC=﹣=，DP=，∴，且∠EPD=∠APC，∴△EPD∽△CPA，∴∠EDP=∠ACP；

（2）解：如圖1，連接AD、EC，由（1）可知DE∥AC，∴∠DEC+∠ECA=180°，∵A、D、E、C四點在同圓周上，∴∠DEC+∠DAC=180°，∴∠ECA=∠DAC，在△AEC和△CDA中，∵∠ECA=∠DAC，∠AEC=∠CDA，AC=CA，∴△AEC≌△CDA（AAS），∴CD=AE，即a=，可得ac=4，∵A、C在直線l上，∴，解得k==﹣=﹣1；

（3）假設在線段AT上存在點M，使OM⊥AM，連接OM、OA，作MN⊥x軸于點N，如圖2，∵c=1，∴C（1，4），F（0，4），P（1，），B（a，0），設直線BF的解析式為y=k′x+4，由題意可得：，解得a=2，∴A（2，2），∴AP為△DCT的中位線，∴T（3，0），∴AT= =

∵S△OAT=OTAB=ATOM，∴OM===，在Rt△OMT中，MT= = =，同理可求得MN==，在Rt△OMN中，ON= = =，∵2＜＜3，∴點M在線段AT上，即在線段AT上存在點M，使得OM⊥AM，M點的坐標為（，）．