Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的圖象經過點A（3，3）、B（4，0）和原點O，P為直線OA上方拋物線上的一個動點．

（1）求直線OA及拋物線的解析式；

（2）過點P作x軸的垂線，垂足為D，并與直線OA交于點C，當△PCO為等腰三角形時，求D的坐標；

（3）設P關于對稱軸的點為Q，拋物線的頂點為M，探索是否存在一點P，使得△PQM的面積為，如果存在，求出P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線OA的解析式為y＝x，二次函數的解析式是y＝﹣x2+4x；（2）D（）；（3）存在，P（）或（）．

【解析】

（1）設直線OA的解析式為y1＝kx，把點A坐標（3，3）代入得：k＝1，直線OA的解析式為y＝x；再設y2＝ax（x4），把點A坐標（3，3）代入得：a＝1，即可求解；

（2）P為直線OA上方拋物線上的一個動點，故0＜m＜3．此時僅有OC＝PC，CO＝OD＝m，，解得，即可求解；

（3）M到直線PQ的距離為4（n2＋4n）＝（n2）2，要使△PQM的面積為，則，即，即可求解．

解：（1）設直線OA的解析式為y1＝kx，

把點A坐標（3，3）代入得：k＝1，

直線OA的解析式為y＝x；

再設y2＝ax（x﹣4），

把點A坐標（3，3）代入得：a＝﹣1，

函數的解析式為y＝﹣x2+4x，

∴直線OA的解析式為y＝x，二次函數的解析式是y＝﹣x2+4x．

（2）設D的橫坐標為m，則P的坐標為（m，﹣m2+4m），

∵P為直線OA上方拋物線上的一個動點，

∴0＜m＜3．

此時僅有OC＝PC，CO＝=OD＝m，

∴，解得，

∴；

（3）函數的解析式為y＝﹣x2+4x，

∴對稱軸為x＝2，頂點M（2，4），

設P（n，﹣n2+4n），則點P關于對稱軸的對稱點Q（4﹣n，﹣n2+4n），

M到直線PQ的距離為4﹣（﹣n2+4n）＝（n﹣2）2，

要使△PQM的面積為，

則，即，

解得：或，

∴P（）或（）．