Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC邊上的點(diǎn)，且AE=CF．

（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；

（2）若AB=12，AE=5，cos∠BFE=，求矩形ABCD的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）62

【解析】分析：（1）先求出，然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形為平行四邊形；
（2）由三角函數(shù)和勾股定理求出，得出，即可得出答案．

詳解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC.AB=CD，

∵AE=CF，

∴DE=BF.

∴四邊形BFDE是平行四邊形。

(2)∵矩形ABCD，

∴

過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G.

∵

∴四邊形ABGE是矩形，

∴AE=BG=5，AB=EG=12.

∵在Rt△EFG中,

∴

設(shè)FG=3x，EF=5x，

∴

∴x=3.

∴FG=3x=9，

∴BC=BG+FG+CF=5+9+5=19.

∴矩形ABCD的周長(zhǎng)=19×2+12×2=62.