Question

如圖，經過原點的拋物線與軸的另一個交點為A．過點作直線軸于點M，交拋物線于點B，過點B作直線BC∥軸與拋物線交于點C（B、C不重合），連結CP．

（1）當時，求點A的坐標及BC的長；
（2）當時，連結CA，問為何值時？
（3）過點P作且，問是否存在，使得點E落在坐標軸上？若存在，求出所有滿足要求的的值，并求出相對應的點E坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）A(-4，0) ，BC="2" （2）m=2時 （3）存在

試題分析：解：（1）當m=2時，，
令y=0，得，∴
∴A(-4，0)   
當x=-1時，y=3，∴B（-1，3）
∵拋物線的對稱軸為直線x=-2，
又∵B，C關于對稱軸對稱，∴BC=2．  

（2）過點C作CH⊥x軸于點H（如圖），
由已知得∠ACP=∠BCH=90°，
∴∠ACH=∠PCB            
又∵∠AHC=∠PBC=90°，
∴△ACH∽△PCB，
∴．
∵拋物線的對稱軸為直線x=-m，其中m>1，
又∵B,C關于對稱軸對稱，       
∴，
∵        
∴
又∵       
∴,
∴           
∴∴．
（3）∵B，C不重合，∴m≠1．（I）當m＞1時，BC=2(m-1),PM=m,   BP=m-1.
(i)若點E在x軸上（如圖1），
∵∠CPE=90°，∴∠MPE＋∠BPC=∠MPE＋∠MEP=90°，
∴∠BPC=∠MEP．  又∵∠CPB=∠PME=90°，PC=EP
∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM,     
∴2（m－1）=m，
∴m=2,此時點E的坐標是（-2，0）．
（II）當0＜m＜1時，BC=2（1－m），PM=m，   BP=1－m,
(i)若點E在x軸上， 易證△BPC≌△MEP，∴BC=PM，
∴2（1－m）=m,∴，此時點E的坐標是．
（ii）若點E在y軸上，
過點P作PN⊥y軸于點N，易證△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1,
∴1－m=1，∴m=0（舍去）．
綜上所述，當m=2時，點E的坐標是（-2，0）或（0，4）；當時，點E的坐標是 ．
點評：難度系數較大，考生應熟練掌握拋物線的基本性質，包括對稱軸的公式，拋物線的頂點等，相似三角形的判定，全等三角形的判定等等，綜合知識，數形結合。