Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點M為BC上一點，連接AM，且AB=AM，點E為BM中點，AF⊥AB，連接EF，延長FO交AB于點N．

（1）若BM=4，MC=3，AC=，求AM的長度；

（2）若∠ACB=45°，求證：AN+AF=EF．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）見解析

【解析】

（1）連接AE．根據等腰三角形的性質得到，AE⊥BM，根據勾股定理求出

即可得解.

（2）連接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延長線于E．根據∠AEC=∠AFC=90°，∠AEC+∠AFC=90°，得到A，E，C，F四點共圓，根據圓周角定理得到∠AFE=∠ACE=45°，繼而得到∠EFA=∠EFG=45°，根據等腰直角三角形的性質得到EH=EG，AE=EC，證明Rt△EHA≌Rt△EGC，Rt△EHF≌Rt△EGF，△AON≌△COF根據全等三角形的性質得到，AN=CF，AN+AF=FC+AF=FG﹣CG+FH+AH=2FH，根據即可證明.

（1）解：如圖1中，連接AE．

∵AB=AM，BE=EM，

∴AE⊥BM，

在Rt△ACE中，∵AC=，EC=EM+CM=5，

∴

在Rt△AEM中，

（2）如圖，連接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延長線于E．

∵∠AEC=∠AFC=90°，

∴∠AEC+∠AFC=90°，

∴A，E，C，F四點共圓，

∴∠AFE=∠ACE=45°，

∴∠EFA=∠EFG=45°，

∵EH⊥FA，EG⊥FG，

∴EH=EG，

∵∠ACE=∠EAC=45°，

∴AE=EC，

∴Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），

∴AH=CG，

∵EF=EF，EH=EG，

∴Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），

∴FH=FG，

∵AB∥CD，

∴∠OAN=∠OCF，

∵∠AON=∠COF，OA=OC，

∴△AON≌△COF（ASA），

∴AN=CF，

∴AN+AF=FC+AF=FG﹣CG+FH+AH=2FH，

∵

∴