Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、AB上一點，且AF＝BE，AE與DF交于點G．

（1）求證：AE＝DF．

（2）如圖2，在DG上取一點M，使AG＝MG，連接CM，取CM的中點P．寫出線段PD與DG之間的數量關系，并說明理由．

（3）如圖3，連接CG．若CG＝BC，則AF：FB的值為　 　．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)DG＝DP，理由見解析；(3)1∶1.

【解析】

（1）用SAS證△ABE≌△DAF即可；

（2）DG＝DP，連接GP并延長至點Q，使PQ＝PG，連接CQ，DQ，先用SAS證△PMG≌△PCQ，得CQ＝MG＝AG，進一步證明∠DAG＝∠DCQ，再用SAS證明△DAG≌△DCQ，得∠ADF＝∠CDQ，于是有∠FDQ＝90°，進而可得△DPG為等腰直角三角形，由此即得結論；

（3）延長AE、DC交于點H，由條件CG＝BC可證CD=CG=CH，進一步用SAS證△ABE≌△HCE，得BE=CE，因為AF＝BE，所以AF：BF=BE：CE=1：1.

解：（1）證明：正方形ABCD中，

AB＝AD，∠ABE＝∠DAF＝90°，BE＝AF，

∴△ABE≌△DAF（SAS）

∴AE＝DF；

（2）DG＝DP，理由如下：

如圖，連接GP并延長至點Q，使PQ＝PG，連接CQ，DQ，

∵PM=PC，∠MPG=∠CPQ，

∴△PMG≌△PCQ（SAS），

∴CQ＝MG＝AG，∠PGM=∠PQC，

∴CQ∥DF，

∴∠DCQ＝∠FDC＝∠AFG，

∵∠AFG＋∠BAE＝90°，∠DAG＋∠BAE＝90°，

∴∠AFG=∠DAG.

∴∠DAG＝∠DCQ.

又∵DA=DC，

∴△DAG≌△DCQ（SAS）.

∴∠ADF＝∠CDQ.

∵∠ADC＝90°，

∴∠FDQ＝90°.

∴△GDQ為等腰直角三角形

∵P為GQ的中點

∴△DPG為等腰直角三角形.

∴DG＝DP.

（3）1∶1.

證明：延長AE、DC交于點H，

∵CG=BC，BC=CD，

∴CG=CD，∴∠1=∠2.

∵∠1+∠H=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠H.

∴CG=CH.

∴CD=CG=CH.

∵AB=CD，∴AB=CH.

∵∠BAE=∠H，∠AEB=∠HEC，

∴△ABE≌△HCE（SAS）.

∴BE=CE.

∵AF=BE，

∴AF：BF=BE：CE=1：1.