Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABED是正方形，DB⊥BC，點E為線段DC的中點，

（1）求證：BD2=ADDC．
（2）連接AE，求證：ABCE為平行四邊形．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵四邊形ABED是正方形，

∴∠A=90°，AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，

∵BE⊥CD，點E為線段DC的中點，

∴BD=BC，

∵DB⊥BC，

∴∠BDC=∠C=45°，

∴△ABD∽△DBC，

∴ ，

∴BD2=ADDC；

（2）解：證明：連接AE，

∵四邊形ABED是正方形，

∴∠AED=45°，AB∥CD，

∵∠C=45°，

∴∠AED=∠C，

∴AE∥BC，

∴四邊形ABCE為平行四邊形．

【解析】（1） 由正方形的性質知∠A=90°，AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°又由中垂線的性質知BD=BC，進而得出△ABD∽△DBC，由相似三角形對應邊成比例得出結論；由正方形的性質得出∠AED=45°，AB∥CD，進而得出∠AED=∠C，故AE∥BC，從而四邊形ABCE為平行四邊形．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的判定的相關知識，掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，以及對正方形的性質的理解，了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．