Question

將△ABC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)α得到△DBE，DE的延長線與AC相交于點(diǎn)F，連接DA、BF．
（1）如圖1，若∠ABC=α=60°，BF=AF．

①求證：DA∥BC；②猜想線段DF、AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）如圖2，若∠ABC＜α，BF=mAF（m為常數(shù)），求的值（用含m、α的式子表示）．

Answer 1

解：（1）①證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB。
∴△ABD為等邊三角形。∴∠DAB=60°。∴∠DAB=∠ABC。
∴DA∥BC。
②猜想：DF=2AF。證明如下：
如答圖1所示，在DF上截取DG=AF，連接BG，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，DB=AB，∠BDG=∠BAF，
∵在△DBG與△ABF中，DB=AB，∠BDG=∠BAF，DG=AF，
∴△DBG≌△ABF（SAS）。∴BG=BF，∠DBG=∠ABF。
∵∠DBG+∠GBE=α=60°，∴∠GBE+∠ABF=60°，即∠GBF=α=60°。
又∵BG=BF，∴△BGF為等邊三角形。∴GF=BF。
又∵BF=AF，∴GF=AF。∴DF=DG+GF=AF+AF=2AF。
（2）如答圖2所示，在DF上截取DG=AF，連接BG，

由（1），同理可證明△DBG≌△ABF，BG=BF，∠GBF=α。
過點(diǎn)B作BN⊥GF于點(diǎn)N，
∵BG=BF，∴點(diǎn)N為GF中點(diǎn)，∠FBN=。
在Rt△BFN中，NF=BF•sin∠FBN=BFsin=mAFsin．
∴GF=2NF=2mAFsin。∴DF=DG+GF=AF+2mAFsin。
∴。

試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證明△ABD為等邊三角形，則∠DAB=∠ABC=60°，所以DA∥BC。
（2）①如答圖1所示，作輔助線（在DF上截取DG=AF，連接BG），構(gòu)造全等三角形△DBG≌△ABF，得到BG=BF，∠DBG=∠ABF；進(jìn)而證明△BGF為等邊三角形，則GF=BF=AF；從而DF=2AF。
②與①類似，作輔助線，構(gòu)造全等三角形△DBG≌△ABF，得到BG=BF，∠DBG=∠ABF，由此可知△BGF為頂角為α的等腰三角形，解直角三角形求出GF的長度，從而得到DF長度，問題得解。