Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝ax2+bx+3＝0（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C

（1）求拋物線的解析式；

（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，請問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合條件的點P，其坐標為或或（﹣1，6）或；（3）存在，Q（﹣1，2）．

【解析】

（1）已知拋物線過A、B兩點，可將兩點的坐標代入拋物線的解析式中，用待定系數法即可求出二次函數的解析式；

（2）可根據（1）的函數解析式得出拋物線的對稱軸，也就得出了M點的坐標，由于C是拋物線與y軸的交點，因此C的坐標為（0，3），根據M、C的坐標可求出CM的距離．然后分三種情況進行討論：

①當CP＝PM時，②當CM＝MP時，③當CM＝CP時，可分別得出P的坐標；

（3）根據軸對稱﹣最短路徑問題解答．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），

∴，

解得：．

∴所求拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）存在，如圖1，

∵拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，

∴其對稱軸為，

∴設P點坐標為（﹣1，a），

∴C（0，3），M（﹣1，0），

PM2＝a2，CM2＝（﹣1）2+32，CP2＝（﹣1）2+（3﹣a）2，

分類討論：

（1）當PC＝PM時，

（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得，

∴P點坐標為：P1（﹣1，）；

（2）當MC＝MP時，

（﹣1）2+32＝a2，解得，

∴P點坐標為：或；

（3）當CM＝CP時，

（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，a＝0（舍），

∴P點坐標為：P4（﹣1，6）．

綜上所述存在符合條件的點P，其坐標為或或P（﹣1，6）或．

（3）存在，Q（﹣1，2），

理由如下：如圖2，

點C（0，3）關于對稱軸x＝﹣1的對稱點C′的坐標是（﹣2，3），連接AC′，直線AC′與對稱軸的交點即為點Q．

設直線AC′函數關系式為：y＝kx+t（k≠0）．

將點A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得，

解得，

所以，直線AC′函數關系式為：y＝﹣x+1．

將x＝﹣1代入，得y＝2，即Q（﹣1，2）．