Question

【題目】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四邊形ABCD為平行四邊形，AA1⊥平面ABCD，∠BAD=60°，AB=2，BC=1．AA1= ，E為A1B1的中點．
（1）求證：平面A1BD⊥平面A1AD；
（2）求多面體A1E﹣ABCD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=2，AD=BC=1，∠BAD=60°，

∴BD= = ，

∴BD2+AD2=AB2，∴AB⊥AD，

∵AA1⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴BD⊥AA1，又AA1∩AD=A，AA1平面A1AD，AD平面A1AD，

∴BD⊥平面A1AD，又BD平面A1BD，

∴平面A1BD⊥平面A1AD．

（2）解：連接A1C，S四邊形ABCD=2S△ABD=2× = ，

∴V = = = ，

設C到AB的距離為h，則h= = ，則C到平面ABB1A1的距離為h= ，

∴V = = = ．

∴多面體A1E﹣ABCD的體積V=V +V = ．

【解析】（1）求出BD，再利用勾股定理的逆定理證明BD⊥AD，結合BD⊥AA1即可得出BD⊥平面A1AD，從而平面A1BD⊥平面A1AD；（2）將多面體分解成三棱錐C﹣A1BE和四棱錐A1﹣ABCD，分別計算兩個棱錐的體積即可得出多面體的體積．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直)．