Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D是AC邊上一動點，△BDE是等邊三角形，連接AE．
（1）求證：△EBA≌△DBC；EA∥BC；
（2）當點D是AC邊的中點，其他條件不變時，指出圖中所有的垂直關系（不添加新的字母和線段）．

Answer 1

解：（1）證明：∵△ABC和△BDE都為等邊三角形，
∴∠EBD=∠ABC=∠DCB=60°，EB=DB，AB=BC，
∴∠EBD-∠ABD=∠ABC-∠ABD，即∠ABE=∠CBD，
在△EBA和△DBC中，
，
∴△EBA≌△DBC（SAS），
∴∠EAB=∠DCB=60°，又∠ABC=60°，
∴∠EAB=∠ABC，
∴EA∥BC；
（2）圖中的垂直關系為：BD⊥AC，AB⊥ED，AE⊥EB，EB⊥BC．
分析：（1）由△ABC和△BDE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到每一個內角為60°，三邊長相等，再由等式的性質得到∠ABE=∠CBD，利用SAS可得出△EBA≌△DBC，由全等三角形的對應角相等得到∠EAB=∠DCB=60°，而∠ABC=60°，得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行即可得到EA與BC平行；
（2）圖中所有的垂直關系為：BD⊥AC，AB⊥ED，AE⊥EB，EB⊥BC，理由分別為：當D為AC中點時，由三角形ABC為等邊三角形，利用三線合一得到BD垂直于AC，BD為角平分線，得出∠ABD=30°，又∠EDB=60°，利用三角形的內角和定理及垂直的定義得到ED與AB垂直，由∠ABE=30°，∠EAB=60°，得到∠AEB為直角，可得出AE與EB垂直，由EA與BC平行，利用兩直線平行同旁內角互補得到∠EBC為直角，即EB垂直于BC．
點評：此題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，以及平行線的判定與性質，熟練掌握等邊三角形的性質是解本題的關鍵．