Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點，連接DE，△ADE沿DE折疊后得到△FDE，點F在矩形ABCD的內部，延長DF交于BC于點G．
（1）求證：FG=BG；
（2）若AB=6，BC=4，求DG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接EG，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=90°，

∵△ADE沿DE折疊后得到△FDE，

∴AE=EF，∠DFE=∠A=90°，

∴∠GFE=∠B，

∵E是邊AB的中點，

∴AE=BE，

∴EF=EB，

在Rt△EFG與Rt△EBG中， ，

∴Rt△EFG≌Rt△EBG；

∴FG=BG

（2）解：∵AB=6，BC=4，△ADE沿DE折疊后得到△FDE，

∴DF=DA=4，EF=AE=3，∠AED=∠FED，

∵Rt△EFG≌Rt△EBG，

∴∠FEG=∠BEG，

∴∠DEF+∠FEG=90°，

∵EF⊥DG，

∴EF2=DFFG，

∴FG= ，

∴DG=FG+DF= ．

【解析】（1）連接EG，根據矩形的性質得到∠A=∠B=90°，根據折疊的性質得到AE=EF，∠DFE=∠A=90°，根據全等三角形的性質即可得到結論；（2）根據折疊的性質得到DF=DA=4，EF=AE=3，∠AED=∠FED，根據全等三角形的性質得到∠FEG=∠BEG，得到∠DEF+∠FEG=90°，根據射影定理即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解矩形的性質的相關知識，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等，以及對翻折變換（折疊問題）的理解，了解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．