Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點D為邊CB上的一個動點（點D不與點B重合），過D作DO⊥AB，垂足為O，點B′在邊AB上，且與點B關于直線DO對稱，連接DB′，AD．

（1）求證：△DOB∽△ACB；

（2）若AD平分∠CAB，求線段BD的長；

（3）當△AB′D為等腰三角形時，求線段BD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5；（3）

【解析】試題分析：（1）公共角和直角兩個角相等，所以相似.(2)由（1）可得三角形相似比，設BD＝x，CD，BD，BO用x表示出來，所以可得BD長.(3)同（2）原理，BD＝B′D＝x,

AB′，B′O，BO用x表示,利用等腰三角形求BD長.

試題解析：

（1）證明:∵DO⊥AB，∴∠DOB＝90°，

∴∠ACB＝∠DOB＝90°,

又∵∠B＝∠B．∴△DOB∽△ACB．

（2）∵AD 平分∠CAB，DC⊥AC,DO⊥AB,

∴DO＝DC,

在 Rt△ABC 中，AC＝6，BC＝,8，∴AB＝10,

∵△DOB∽△ACB,

∴DO∶BO∶BD＝AC∶BC∶AB＝3∶4∶5,

設BD＝x，則DO＝DC＝x，BO＝x,

∵CD＋BD＝8，∴ x＋x＝8，解得x＝,5，即：BD＝5．

（3）∵點B 與點B′關于直線DO 對稱，∴∠B＝∠OB′D，

BO＝B′O＝x，BD＝B′D＝x,

∵∠B 為銳角，∴∠OB′D 也為銳角，∴∠AB′D 為鈍角,

∴當△AB′D 是等腰三角形時，AB′＝DB′,

∵AB′＋B′O＋BO＝10，

∴x＋x＋x＝10，解得x＝，即BD＝，

∴當△AB′D 為等腰三角形時，BD＝.