Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點P為AB延長線上的一點，過點P作⊙O的切線PE，切點為M，過A、B兩點分別作PE的垂線AC、BD，垂足分別為C、D，連接AM，則下列結論正確的是___________.(寫出所有正確結論的序號)

①AM平分∠CAB；

②AM2＝ACAB；

③若AB＝4，∠APE＝30°，則的長為；

④若AC＝3，BD＝1，則有CM＝DM＝.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

連接OM，由切線的性質可得OM⊥PC，繼而得OM∥AC，再根據平行線的性質以及等邊對等角即可求得∠CAM＝∠OAM，由此可判斷①；通過證明△ACM∽△AMB，根據相似三角形的對應邊成比例可判斷②；求出∠MOP＝60°，利用弧長公式求得的長可判斷③；由BD⊥PC，AC⊥PC，OM⊥PC，可得BD∥AC//OM，繼而可得PB=OB=AO，PD=DM=CM，進而有OM=2BD＝2，在Rt△PBD中，PB=BO=OM=2，利用勾股定理求出PD的長，可得CM＝DM＝DP＝，由此可判斷④.

連接OM，

∵PE為⊙O的切線，

∴OM⊥PC，

∵AC⊥PC，

∴OM∥AC，

∴∠CAM＝∠AMO，

∵OA＝OM，

∠OAM＝∠AMO，

∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正確；

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AMB＝90°，

∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，

∴△ACM∽△AMB，

∴，

∴AM2＝ACAB，故②正確；

∵∠APE＝30°，

∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，

∵AB＝4，

∴OB＝2，

∴的長為，故③錯誤；

∵BD⊥PC，AC⊥PC，OM⊥PC，

∴BD∥AC//OM，

∴△PBD∽△PAC，

∴，

∴PB＝PA，

又∵AO=BO，AO+BO=AB，AB+PB=PA，

∴PB=OB=AO，

又∵BD∥AC//OM，

∴PD=DM=CM，

∴OM=2BD＝2，

在Rt△PBD中，PB=BO=OM=2

∴PD==，

∴CM＝DM＝DP＝，故④正確，

故答案為：①②④.