Question

若干個1與2排成一行：1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，------，規則是：第1個數是1，第2個數是2，第3個數是1，一般地，先寫一行1，再在第k個1與第k+1個1之間插入k個2（k=1，2，3，---）．試問：（1）第2006個數是1還是2？
（2）前2006個數的和是多少？前2006個數的平方和是多少？
（3）前2006個數兩兩乘積的和是多少？

Answer 1

解：（1）把該列數如下分組：
1 第1組，
2 1 第2組，
2 2 1 第3組，
2 2 2 1 第4組，
2 2 2 2 1 第5組，
-------
2 2 2 2 2 1 第n組 （有n-1個2），
易得，第2006個數為第63組，第53個數，為2；

（2）前2006個數的和為62+1944×2=3950，
前2006個數的平方和是：62×1²+1944×2²=7838；

（3）記這2006個數為：
a₁，a₂，…a₂₀₀₆，
記R=a₁+a₂+…+a₂₀₀₆=3950，
T=a₁²+a₂²+…+a₂₀₀₆²，
=62×1²+1944×2²，
=7838，
S=a₁a₂+a₁a₃+…+a₁a₂₀₀₆+a₂a₃+a₂a₄+…+a₂a₂₀₀₆+…+a₂₀₀₅a₂₀₀₆，
∴2S=（a₁+a₂+…+a₂₀₀₆）²-（a₁²+a₂²+…+a₂₀₀₆²），
=R²-T，
=3950²-7838，
S=（3950²-7862）=7797331．
分析：（1）根據規則可知第n-1行共有數字個數為2+3+4+…+n=-1，由于n=63時，數字個數為2015個，從而得出第2006個數；
（2）觀察數的排列可知每行有一個1，其余都是2，得出前2006個數中1的個數和2的個數．
（3）根據數字規律假設出R=a₁+a₂+…+a₂₀₀₆=3950，T=a₁²+a₂²+…+a₂₀₀₆²，進而求出即可．
點評：此題考查了規律型：數字的變化，解題的關鍵是得出每行有一個1，其余都是2，并且2的個數為公差為1的等差數列．