Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+c與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A，B．

（1）求點B的坐標和拋物線的解析式；

（2）M（m，0）為線段OA上一個動點，過點M垂直于x軸的直線與直線AB和拋物線分別交于點P、N．

①試用含m的代數式表示線段PN的長；

②求線段PN的最大值．

Answer 1

【答案】（1）B（0，2），y＝﹣x2+x+2；（2）①PN＝﹣（0≤m≤3）；②m＝時，線段PN有最大值為3．

【解析】

（1）把A點坐標代入直線解析式可求得c，則可求得B點坐標，由A、B的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）①M（m，0），則P（m，），N（m，﹣），即可求出PN的長；

②根據二次函數的性質可得線段PN的最大值．

解：（1）∵y＝﹣x+c與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，

∴0＝﹣2+c，解得c＝2，

∴B（0，2），

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A，B，

∴，解得，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+2；

（2）①M（m，0），則P（m，），N（m，﹣），

∴PN＝＝﹣（0≤m≤3）；

②∵PN＝﹣＝，

∴m＝時，線段PN有最大值為3．