Question

【題目】已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，點M為邊BC的中點，點P為邊CD上的動點（點P異于C、D兩點）。連接PM，過點P作PM的垂線與射線DA相交于點E（如圖）。設CP=x，DE=y。

（1）寫出y與x之間的函數關系式 ▲ ；

（2）若點E與點A重合，則x的值為 ▲ ；

（3）是否存在點P，使得點D關于直線PE的對稱點D′落在邊AB上？若存在，求x的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=－x2＋4x（2）或（3）存在，當時，點D關于直線PE的對稱點D′落在邊AB上

【解析】

解：（1）y=－x2＋4x。

（2）或。

（3）存在。

過點P作PH⊥AB于點H。

則

∵點D關于直線PE的對稱點D′落在邊AB上，

∴P D′=PD=4－x，E D′="ED=" y=－x2＋4x，EA=AD－ED= x2－4x＋2，∠P D′E=∠D=900。

在Rt△D′P H中，PH=2， D′P =DP=4－x，D′H=。

∵∠ E D′A=1800－900－∠P D′H=900－∠P D′H=∠D′P H，∠P D′E=∠P HD′ =900，

∴△E D′A∽△D′P H。∴，即，

即，兩邊平方并整理得，2x2－4x＋1=0。解得。

∵當時，y=，

∴此時，點E已在邊DA延長線上，不合題意，舍去（實際上是無理方程的增根）。

∵當時，y=，

∴此時，點E在邊AD上，符合題意。

∴當時，點D關于直線PE的對稱點D′落在邊AB上。

（1）∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4－x，且△MCP∽△PDE，

∴，即。∴y=－x2＋4x。

（2）當點E與點A重合時，y=2，即2=－x2＋4x，x2－4x＋2=0。

解得。

（3）過點P作PH⊥AB于點H，則由點D關于直線PE的對稱點D′落在邊AB上，可得△E D′A與△D′P H相似，由對應邊成比例得得關于x的方程即可求解。注意檢驗。