【題目】如圖，點
在等邊
的邊
上，
，射線
，垂足為點
，點
是射線
上一動點，點
是線段
上一動點，當
的值最小時，
，則
的長為___________________．
【答案】13
【解析】
作出點M關于CD的對稱點M1，然后過點M1作M1N⊥AB于N，交CD于點P，連接MP，根據對稱性可得MP= M1P，MC= M1C，然后根據垂線段最短即可證出此時
最小，然后根據等邊三角形的性質可得AC=BC，∠B＝60°，利用30°所對的直角邊是斜邊的一半即可求出BM1，然后求出BC即可求出AC．
解：作出點M關于CD的對稱點M1，然后過點M1作M1N⊥AB于N，交CD于點P，連接MP，如下圖所示
根據對稱性質可知：MP= M1P，MC= M1C
此時=M1P＋NP=M1N，根據垂線段最短可得此時最小，且最小值為M1N的長
∵△ABC為等邊三角形
∴AC=BC，∠B＝60°
∴∠M1=90°－∠B=30°
∵
，當的值最小時，
，
∴在Rt△BM1N中，BM1=2BN=18
∴MM1= BM1－BM=10
∴MC= M1C=
MM1=5
∴BC=BM＋MC=13
故答案為：13．
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【題目】點I為△ABC的內心，連AI交△ABC的外接圓于點D，若AI=2CD，點E為弦AC的中點，連接EI，IC，若IC=6，ID=5，則IE的長為_____．
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【題目】如圖，已知∠BAC=60° ,∠B=80° ,DE垂直平分AC交BC于點D,交AC于點E.
(1)求∠BAD的度數；
(2)若AB=10,BC=12,求△ABD的周長.
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【題目】問題探究
（1）如圖①，已知正方形ABCD的邊長為4．點M和N分別是邊BC、CD上兩點，且BM＝CN，連接AM和BN，交于點P．猜想AM與BN的位置關系，并證明你的結論．
（2）如圖②，已知正方形ABCD的邊長為4．點M和N分別從點B、C同時出發，以相同的速度沿BC、CD方向向終點C和D運動．連接AM和BN，交于點P，求△APB周長的最大值；
問題解決
（3）如圖③，AC為邊長為2
的菱形ABCD的對角線，∠ABC＝60°．點M和N分別從點B、C同時出發，以相同的速度沿BC、CA向終點C和A運動．連接AM和BN，交于點P．求△APB周長的最大值．
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【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(a，﹣
)在直線y＝﹣
上，AB∥y軸，且點B的縱坐標為1，雙曲線y＝
經過點B．
(1)求a的值及雙曲線y＝的解析式；
(2)經過點B的直線與雙曲線y＝的另一個交點為點C，且△ABC的面積為
．
①求直線BC的解析式；
②過點B作BD∥x軸交直線y＝﹣于點D，點P是直線BC上的一個動點．若將△BDP以它的一邊為對稱軸進行翻折，翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形為正方形，直接寫出所有滿足條件的點P的坐標．
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【題目】(1)如圖1，點
、
分別是等邊
邊
、
上的點，連接
、
，若
，求證：
(2)如圖2，在(1)問的條件下，點
在
的延長線上，連接
交延長線于點
，．若
，求證：
．
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【題目】觀察下列等式：
12×231＝132×21，
13×341＝143×31
23×352＝253×32，
34×473＝374×43，
62×286＝682×26，
……
以上每個等式中兩邊數字是分別對稱的，且每個等式中組成兩位數與三位數的數字之間具有相同規律，我們稱這類等式為“數字對稱等式”
（1）根據上述各式反映的規律填空，使式子稱為“數字對稱等式”：
①52× ＝ ×25
② ×396＝693× ；
（2）設這類等式左邊兩位數的十位數字為a，個位數字為b，且2≤a+b≤9，寫出表示“數字對稱等式”一般規律的式子（含a，b），并證明；
（3）若（2）中a，b表示一個兩位數，例如a＝11，b＝22，則1122×223311＝113322×2211，請寫出表示這類“數字對稱等式”一般規律的式子（含a，b），并寫出a+b的取值范圍．
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【題目】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，AE=ED，DF=
DC，連接EF并延長交BC的延長線于點G．
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．
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【題目】如圖，兩個村莊A、B在河CD的同側，A、B兩村到河的距離分別為AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．現要在河邊CD上建造一水廠，向A、B兩村送自來水．鋪設水管的工程費用為每千米20000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設水管的費用最省，并求出鋪設水管的總費用W．
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