Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中的三點A(1，0)，B(－1，0)，P(0，－1)，將線段AB沿y軸向上平移m(m＞0)個單位長度，得到線段CD，二次函數y＝a(x－h)2＋k的圖象經過點P，C，D．

(1)當m＝1時，a＝______；當m＝2時，a＝______；

(2)猜想a與m的關系，并證明你的猜想；

(3)將線段AB沿y軸向上平移n(n＞0)個單位長度，得到線段C1D1，點C1，D1分別與點A，B對應，二次函數y＝2a(x－h)2＋k的圖象經過點P，C1，D1．

①求n與m之間的關系；

②當△COD1是直角三角形時，直接寫出a的值．

Answer 1

【答案】（1）2，3；（2）a＝m＋1．證明見解析；（3）①；②當△COD1是直角三角形時，a的值是或2．

【解析】

（1）分別把和代入可得的坐標，根據拋物線頂點寫出解析式為：，再代入或的坐標即可；

（2）根據線段沿軸向上平移個單位長度，得到線段，寫出和的坐標，同理將的坐標代入解析式中可得結論；

（3）①同理可得：，由（2）中得：，列等式可得；

②分別以三個頂點為直角頂點，由勾股定理列方程可得的值．

解：（1）當時，，，

拋物線頂點，

，

把代入得：，

當時，，，

拋物線頂點，

，

把代入得：，

，

故答案為：2；3；

（2），理由是：

由題意得：，

把代入拋物線的解析式中得：，

（3）①由題意得：，，

把代入拋物線的解析式中得：，

，

由（2）知：，

，

；

②分三種情況：

，，，

當時，是直角三角形，如圖1，

由勾股定理得：，

，

，

，

（舍，；

當時，是直角三角形，如圖2，

由勾股定理得：，

，

，

，

（舍，；

當，是直角三角形，

同理得：，

，

，

△，

此方程無實數解，

綜上所述，當是直角三角形時，的值是或2．