Question

【題目】如圖，點A在函數y= （x＞0）圖象上，過點A作x軸和y軸的平行線分別交函數y= 圖象于點B，C，直線BC與坐標軸的交點為D，E．

（1）當點C的橫坐標為1時，求點B的坐標；
（2）試問：當點A在函數y= （x＞0）圖象上運動時，△ABC的面積是否發生變化？若不變，請求出△ABC的面積，若變化，請說明理由．
（3）試說明：當點A在函數y= （x＞0）圖象上運動時，線段BD與CE的長始終相等．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點C在y= 的圖象上，且C點橫坐標為1，

∴C（1，1），

∵AC∥y軸，AB∥x軸，

∴A點橫坐標為1，

∵A點在函數y= （x＞0）圖象上，

∴A（1，4），

∴B點縱坐標為4，

∵點B在y= 的圖象上，

∴B點坐標為（ ，4）；

（2）

解：設A（a， ），則C（a， ），B（ ， ），

∴AB=a﹣ = a，AC= ﹣ = ，

∴S△ABC= ABAC= × × = ，

即△ABC的面積不發生變化，其面積為 ；

（3）

解：如圖，設AB的延長線交y軸于點G，AC的延長線交x軸于點F，

∵AB∥x軸，

∴△ABC∽△EFC，

∴ = ，即 = ，

∴EF= a，

由（2）可知BG= a，

∴BG=EF，

∵AE∥y軸，

∴∠BDG=∠FCE，

在△DBG和△CFE中

∴△DBG≌△CEF（AAS），

∴BD=EF．

【解析】（1）由條件可先求得A點坐標，從而可求得B點縱坐標，再代入y= 可求得B點坐標；（2）可設出A點坐標，從而可表示出C、B的坐標，則可表示出AB和AC的長，可求得△ABC的面積；（3）可證明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的長可表示出EF，可得到BG=EF，從而可證明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．
【考點精析】本題主要考查了反比例函數的圖象和反比例函數的性質的相關知識點，需要掌握反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．