Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD的外側，作兩個等邊三角形ADE和DCF，連接AF，BE.

（1）請判斷：AF與BE的數量關系是______________.位置關系是_______________.

（2）如圖2，若將條件“兩個等邊三角形ADE和DCF”變為“兩個等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）問中的結論是否仍然成立？請做出判斷并給與證明.

（圖1） （圖2）

Answer 1

【答案】（1）AF=BE，AF⊥BE. （2）結論成立

【解析】試題分析：（1）根據正方形和等邊三角形可證明△ABE≌△DAF，然后可得BE=AF，∠ABE=∠DAF，進而通過直角可證得BE⊥AF；

（2）類似（1）的證法，證明△ABE≌△DAF，然后可得AF=BE,AF⊥BE，因此結論還成立

試題解析：（1）AF=BE，AF⊥BE.

（2）結論成立.

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴BA=AD =DC，∠BAD =∠ADC = 90°.

在△EAD和△FDC中，

∴△EAD≌△FDC.

∴∠EAD=∠FDC.

∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA，

即∠BAE=∠ADF.

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF.

∴BE = AF，∠ABE=∠DAF

∵∠DAF +∠BAF=90°

∴∠ABE +∠BAF=90°

∴AF⊥BE.